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　　摘要,近年来“彩票飓风”席卷中华大地,巨额奖金的刺激使越来越多的人加入到“彩民”的行列。如何购买彩票才能在一夜之间成为百万富翁,或者说最划算呢,是众多彩民最迫切希望取得的“真经”,而彩票公司则希望取得最多的利润。如何调和矛盾的双方使得大家“双赢”便成为我们这篇论文的中心论题。目前流行的“传统型”与“乐透型”两种彩票类型,采用公司与彩民各得销售总额的50%的原则,双方的利益均取决于销售总额的大小,因此“双赢”的问题转化为怎样提高销售总额。众所周知,彩民购买一种彩票是否踊跃取决于奖项的设置,奖金额的高低,中奖概率的大小,以及不同生活水平,不同文化背景的人如何看待这些设置,因此我们解决该问题的途径便是根据彩民心理曲线,综合考虑各奖项出现的可能性,奖项和奖金额的设置,得出针对不同人群的风险型优化目标。

　　近年来社会上出现的彩票越来越多,买彩票的人也越来越多,这样就需要选出一种较好的方案,使得彩票公司和购买彩票的人都较满意。

　　采用“10选6+1”方案,这种方案要求所选有序号码可重复,中奖等级由单注中奖号码相符的个数及顺序确定,

　　这种方案要求所选无序号码不重复,同时设有特别号码,特别号码从彩民所选未中号码中考虑,彩民不另选特别号码,中奖等级由单注中奖号码的个数决定,

　　选出一组无序不重复号码作为基本号,再从剩余号码中选出一个特别号,中奖等级由单注中奖号码的个数决定,

　　这种方案要求号码不重复,而且不考虑号码顺序,且没有特别号码,中奖等级只由中奖号码相符的个数决定。

　　以上类型的总奖金比例一般为销售额的50%,投注者单注金额为2元,若中奖只得最高奖项,不兼得低级别奖项,低项奖数额固定,高项奖按比例分配,但一等奖单注保底金额60万元,封顶金额500万元。

　　选取评定彩票优劣的原则,评价已知几种彩票的合理性,并提出该原则下的最优方案,再给广大彩民提供一些选购彩票的基本参考。

　　二,模型假设a)票摇奖是公平的,各号码的出现是随机的,b)彩民购买彩票是随机的独立事件,且均购买自己认为最有利的类型,c)彩民购买一种彩票的踊跃性正比于所定优化目标函数值,即取决于获奖概率,奖金额和奖项设置,d)对同一方案中高级别奖项的奖金比例或奖金额不应低于相对低级别的奖金比

　　——彩民对某个方案第I等奖的满意度,即第i等奖对彩民的吸引力,1=i=7,——某地区的“实力因子”,从彩票购买量的实际数据综合分析而得,一般为常数,

　　——第i等奖的奖金额比等奖的奖金额高的倍数,由已知方案数据统计而得(m)n——m选n方案,加1或不加1方案,视在文中出处而定,。

　　由题知,单注所有可能的低项奖总额为,故单注可能的第j项,高项,奖奖金额平均值为

　　不同地域,不同文化背景,不同性格的人对同一事件的心理反应是不同的,因此,可借用模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识,根据人们通常对一件事物的心理变化一般遵循的规律,考察彩民对一个方案的各个奖项及奖金额的看法,即对彩民的吸引力,拟订彩民的心理效用曲线

　　实力因子反应的是一定范围内具有相似生活水平与人文背景的彩民投资彩票可能性大小的指标,它不仅与个人经济实力有关,也与其周围投资彩票的风气以及本人是避险型、趋险型心理有关,很难以统一标准来衡量全国各地众生百态的这一指标,为此我们先用几种彩票销售额,附录3,的全国均值来确定,再根据统计分析的结果得出全国此因子值不同的几个分区,利用多元统计中的变量聚类方法,在SAS软件中为varclus命令,,分别加以计算。结果列表如下,

　　彩民购买彩票就是进行了一项风险投资,因此可根据决策分析理论,综合运用心理效用函数和期望值原则,采用为风险决策的益损函

　　在我们所确定的目标函数下,取定实力因子为统计分析所得的几个值,则可由Matlab程序求得29种方案的吸引力值,排序如下,

　　由以上数据,我们得知在全国平均实力水平下,前7款最具合理性的彩票设置方案依次为,

　　根据对模型的建立与求解,我们剩下的问题是选取哪一种彩票类型,哪一种取球方案(m)n取何值,,设置哪些奖项,高项奖的比例和低项奖的奖金额如何设定,可使目标函数有最大值。

　　7.说明由选球方案所决定的中奖概率应符合一般习惯,高一级奖的中奖概率低于

　　根据以上条件,利用Matlab进行非线形整数规划,我们得到新的最优方案为,

　　当我们使用各地区的实力因子来分别考虑最优方案时,仍然使用上面的最优模型,运行程序可得各地最优彩票设置为,

　　本文对彩票问题从数学的角度进行了分析研究,对29种常见方案的合理性进行了综合评价,设计了两种“更好”的方案。

　　首先,计算出各类型彩票各奖项的中奖概率。将中奖面和一等奖单注奖金的期望值作为方案合理性的评价指标,建立了一双目标优化模型。考虑到中奖面和一等奖单注奖金的期望值处于不同的数量级,对它们进行了规一化处理,然后引入非负加权因子,从而将双目标优化模型转化为单目标优化模型进行求解。考虑到不同的彩民对中奖面和一等奖单注奖金期望值的偏好程度不同,给出了适合于不同彩民的合理方案。

　　我们分别设计了面向“保值型”彩民的“22选5”方案和面向“激进型”彩民的双彩池摇奖方案,给出了相应的算法并对其可行性进行了分析。对彩票管理部门提出了设“积宝池”、使用调节基金、采用“二次开奖”和“附加奖”等建

　　最后,对模型进行了分析和评价,提出了模型的改进方向。并给报纸写了一篇关于合理选择彩票问题的文章。

　　巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列, 目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。

　　“传统型”采用“10选6+1”方案,根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级,具体摇奖规则及中奖等级说明见附件一,, “乐透型”有多种不同的形式,分为“m选n”型方案和“m选n+1”型方案,根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级,不考虑号码顺序,具体摇奖规则及中奖等级的说明见附件二,。

　　已知这两种类型彩票的总奖金比例一般为销售总额的50%,投注者单注金额为2元,单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如附表三,其中一、二、三等奖为高项奖,后面的为低项

　　奖。低项奖数额固定,高项奖按比例分配,但一等奖单注保底金额60万元,封顶金额500万元,各高项奖额的计算方法为,

　　(1)根据这些方案的具体情况,综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。

　　(2)设计一种“更好”的方案及相应的算法,并据此给彩票管理部门提出建议。

　　问题的第一问要求对29种彩票方案进行综合分析并评价各方案的合理性,考虑彩票发行人的获利情况和彩票方案对彩民的吸引力两个方面因素,分析彩票方案合理性。一套方案对彩民的吸引力越大,则它的销售总额也就越大,在销售规则不变的前提下,发行人的获利就越多。因此,方案对彩民的吸引力是影响彩票方案合理性的主要因素。

　　要评价方案的合理性关键在于确立关于方案合理性的评价指标。根据“不确定条件下消费者选择理论”, 中奖率低但中奖额高是影响吸引力的主要因素。因

　　此可以考虑将彩票的中奖面和高等奖单注奖金的期望值作为评价指标,来衡量各方案的合理性。

　　由于一等奖占高等奖奖金的60%以上,可以考虑用一等奖单注期望值代替高等奖单注奖金期望值作为评价指标,这并不影响对方案合理性的分析。由于一等奖单注奖金的期望值和中奖面之间又存在相互制约的关系,可以考虑建立双目标优化模型对问题进行研究。不同类型的彩民对两者的偏好程度不一样,高风险倾

　　向彩民主要偏向于一等奖单注奖金的期望值,低风险倾向彩民主要偏向于中奖面。根据实际情况,可以引进偏好系数,考虑在不同偏好系数下,适合该类型彩民的合理性方案。

　　5) 当期未中出的浮动奖奖金,或者超出头等奖单注封顶限额部分的奖金,考虑自动滚动到下一期一等奖,直至中奖。

　　中的“从m中选n”和“从m中选n+1”型。为此,我们对这三种类型彩票各奖项的中奖概率分别进行讨论,

　　1) “传统型”彩票各奖项的中奖概率,以一注为单位,计算每一注彩票的中奖概率,,

　　一等奖,前6位数有106种可能, ,特别号码有5种可能,共有106×5=5000000种选择,而一等奖号码只有一个。因此,一注中一等奖的概率为,

　　由数学之家网站 829866 net收集整理所以总的不重复的号有, 42282个号

　　此类型彩票开奖时从m个号码球中随机抽取n+1个号码球,前n个为基本号,第n+1个为特别号码。从排列组合的知识可以得出,从m个数码中随机抽取n个数码组成一个中奖数组,而且与这n个数码的顺序无关,所以这是一个

　　一等奖,一等奖号码只有一个。因此,一注中一等奖的概率为, ,1 = nm,二等奖,二等奖(n-1个基本号码加一个特别数码)的组合数为 1, 。三等奖,三等奖(n-1个基本号码)的组合数为 1 1 1 m n C , , 。

　　3) “乐透型”中“从m中选n+1”型彩票各奖项的中奖概率,以一注为单位,计算每一注彩票的中奖概率,,

　　采取类似于2)的分析方法,可以求出“从m中选n+1”型彩票各奖项的中奖概率为,

　　4,第23种方案,此方案属于“35选7”的特殊“乐透型”,没有设置特别号码。各奖项中奖概率如下计算,

　　具体所提供的29种方案各奖项的中奖概率,即各种奖项出现的可能性,见附表四,各奖项的中奖概率分布表,。

　　彩票的方案是否合理受到多种因素的共同影响,我们考虑将中奖面和一等奖单注奖金的期望值作为评价的两个指标,对各方案的合理性进行评价。中奖面越广,一等奖单注奖金的期望值越高,对彩民的吸引力也就越大。对彩民吸

　　引力增大,必然导致彩票销售总额的增加,从而方案也就越合理。下面对各目标函数分别进行讨论,

　　中奖面为中奖的彩票总数与该期彩票的总投注数的比值。彩票中奖面的大小与彩民的直接利益息息相关,如果中奖面广,单注的中奖概率就增大,对于彩民来说他购买彩票能够中奖的机率也就增加。因此, 中奖面是衡量方案合理

　　通过对彩票业的良好现状及大量的资料进行分析,发现彩票的“巨额诱惑”是导致“彩民”数急剧增大,彩票业蓬勃发展的重要因素之一。也就是说当前大多数彩民对一等奖的关注程度远远超过了对其他奖项的关注程度,一等奖单注奖金的期望值的高低决定着对彩民的吸引力的大小。因此,一等奖单注奖金的期望值也是衡量方案合理性的重要因素之一。一等奖单注奖金的期望值Z为,

　　,变量说明, N为当期彩票的总投注数, Pi (i=1(2)„,k)为第i等奖出现的概率, qi (i=4(5)„,k)为低项奖中第i等奖对应的固定奖金额, t1方案中一等奖对应的分配比例。 ,

　　方案对彩民的吸引力主要与高项奖和低项奖的设置有关。设置高额巨奖的目的是激发人们的博彩心理,刺激他们去购买彩票。因此高项奖的奖金额必须足够高才能对彩民有足够的吸引力。设置中、低等奖的目的主要是满足多数人的心理需求。人们的中奖心理具有递进性,中了中、低等奖之后,往往会唤起拿到高等奖的信心与渴望。若中奖面太窄,则会使彩民受挫,打击彩民购买彩票的信心。

　　因为级差太小不能体现各奖项之间的等级差别, 而级差太大会打击彩民的信心,所以由以上分析得到以下3个约束条件,

　　博彩的游戏规则是单注中奖期望值与其概率成反比。我们称之为准则一,由于中奖概率随奖项等级的提高而单调递减,根据准则一有约束条件, Z1Z2Z3q4

　　, 、通过以上建模前准备中对方案评价影响因素的分析,为了对各方案的合理性进行评价,可以建立关于P、 Z值的双目标优化模型如下,

　　该双目标规划模型表示中奖面越广,一等奖单注奖金的期望值越高,该方案也就越合理。

　　⑤,, ,彩民对中奖面的偏好系数。⑥,, ,彩民对一等奖的偏好系数。⑦W,方案合理性的衡量指标。

　　我们分别求出这29种方案的P、Z值,见附表五,,从表中可以发现它们的差异很大,分别处于不同的数量级。所以不能直接引入非负加权因子,